Volym, area, integraler, differentialekvationer | Inlämningsuppgift

En inlämningsuppgift i form av sju stycken uppgifter i matematik. Uppgifterna handlar om att beräkna volym, area, samt räkna med integraler och differentialekvationer.

Innehåll

Uppgift 1: Det volymsområde som begränsas av x-axeln, kurvan y = x² och linjen x = 5 får rotera runt x-axeln. Beräkna den uppkomna rotationskroppens volym. Ange exakt värde.
Uppgift 2: Ett område bestäms av y-axeln, funktionen y = och linjen y = 4. Beräkna volymen av den rotationskropp som uppstår då området tillåts rotera runt y-axeln.
Uppgift 3: Graferna till de två funktionerna y = 2 sin 3x och y = 4 cos 3x bildar tillsammans med y-axeln ett slutet område i första kvadranten. Bestäm detta områdes area.
Uppgift 4: Bestäm konstanten a så att y = eax är en lösning till differentialekvationen y' + 3y = 0.
Uppgift 5: Bestäm integralen...
Uppgift 6: Visa att y = Ax + B/x2 är en lösning till differentialekvationen x2y'' + 2xy' - 2y = 0.
Uppgift 7: Grafen till funktionen y = x2 begränsar ett område A tillsammans med linjen x = a (där a > 0) och x-axeln. Kurvan begränsar också ett område B tillsammans med linjen y = b (där b > 0) och y-axeln. När området A roterar runt x-axeln bildas en rotationskropp med volymen VA, och när området B roterar runt y-axeln bildas en rotationskropp med volymen VB.
Bestäm vilket samband som råder mellan a och b då VA = VB.